trfed

KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ
z1 = a + bi ve z2 = c + di olmak üzere, bu karmaşık sayıların toplamı ve farkı,

biçiminde tanımlanır.
Yani, iki karmaşık sayının, toplama veya çıkarma işlemleri yapılırken; reel kısımları birbiri ile, sanal kısımları da bir biri ile toplanır veya çıkarılır.
Toplama İşleminin Geometrik Yorumu
z1 = a + bi ve z2 = c + di karmaşık sayılarının, karmaşık düzlemdeki görüntülerine sırayla, A ve B diyelim.
Sonra AOBC paralelkenarını çizelim . olduğundan, ve olur. Bu durumda, C noktasının koordinatları, (a + c, b + d) bulunur. O halde, C noktası, z1 + z2 = (a + c) + (b + d) i sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsüdür.
z1 + z2 karmaşık sayısının görüntüsü, AOBC paralelkenarının dördüncü köşesi olan C noktasıdır.
Çıkarma İşleminin Geometrik Yorumu
z1 = a+ bi, z2 = c + di ve – z2 = - c – di karmaşık sayılarının, karmaşık düzlemdeki görüntülerine sırayla; A, B ve D diyelim. Sonra, AODC paralelkenarını çizelim.
olduğundan, ve olur. Bu durumda, C noktasının koordinatları, (a-c, b-d) bulunur.
O halde, C noktası, z1 – z2 = (a-c) + (b-d)i sayısının, karmaşık düzlemdeki görüntüsüdür.
z1 – z2 karmaşık sayısının görüntüsü, AODC paralelkenarının dördüncü köşesi olan C noktasıdır.
TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
Kapalılık Özelliği
z1, z2  C olmak üzere, z1 = a + bi, z2 = c + di ise;
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i olur.
a, b, c, d  R ise; (a + c), (b+ d)  R olduğundan, (z1 + z2)  C’dir.
O halde, karmaşık sayılar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği
z  C, 0  C ve z = a + bi, 0 = 0 + 0i olsun.
Z + 0 = (a + bi) + (0 + 0i) 0 + z = (0 + 0i) + (a + bi)
= (a + 0) + (b + 0) i = (0 + a) + (0 + b) i
= a + b i = a + bi
= z = z
z + 0 = 0 + z = z olduğundan, sıfır sayısı karmaşık sayılar kümesinde to6plama işlemine göre etkisiz (birim) elemandır.
Ters Eleman Özelliği
z  C ve z = a + bi ise, -z = -a –bi olsun.
z + (-z) = (a + bi) + ( -a –bi) (-z) + z = (-a –bi) + (a + bi)
= (a – a) + (b – b)i = (a- + a) + (-b + b)i
= 0 + 0i = 0 + 0i
= 0 = 0
z + (-z) = (-z) + z = 0 olduğundan, karmaşık sayılar kümesinde, toplama işlemine göre her elemanın tersi vardır.
z = a + bi sayısının toplama işlemine göre tersi –z = - -bi dir.
Birleşme Özelliği
z1, z2, z3  C ve z1 = a + bi, z2 = c + di, z3 = e + fi olsun.
(z1 + z2) + z3 = [(a + bi) + (c + di)] + (e + fi)
= [(a + c) + (b + d)i] + (e + fi)
= [(a + c) + e] + [(b + d) + f] i dir.
z1 + (z2 + z3) = (a + bi) + [(c + di) + (e + fi)]
= (a + bi) + [(c + e) + (d + f)i]
= [a + (c + e)] + [b + (d + f)] i dir.
(z1 + z2) + z3 ) z1 + (z2 + z3) olduğundan, karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

Değişme Özelliği
z1 z2  C ve z1 = a + bi, z2 = c + di olsun.
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) z2 + z1 = (c + di) + (a + bi)
= (a + c) + (b + d) i = (c + a) + (d + b)i
z1 + z2 = z2 + z1 olduğundan, karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.


KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
z1, z2  C, z1 = a + bi ve z2 = c + di olmak üzere, bu karmaşık sayıların çarpımı,
z1 . z2 = (a + bi) . (c + di) + (bi (c + di)
= ac + adi + bci + bdi2 dir. i2 yerine –1 yazarsak :

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
Kapalılık Özelliği
z1, z2  C olmak üzere, z1 = a+ bi, z2 = c + di ise;
z1 . z2 = (a + bi) (c + di)
= (ac – bd) + (ad + bc) i olur.
a, b, c, d  R ise; (ac – bd)  R ve (ad + bc)  R olduğundan,
z1 . z2  C bulunur.
O halde karmaşık sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği
z  C, 1  C ve z = a + bi, 1 = 1 + 0i olsun.
z . 1 = (a + bi) . (1 + 0i)
= (a . 1 – b . 0) + ( a . 0 + b . 1)i
= a + bi = z bulunur.
Z . 1 = z olduğunda, karmaşık sayılar kümesinin çarpma işlemine göre birim (etkisiz) elemanı, 1 = 1 + 0i’dir.
Ters Eleman Özelliği
z  C karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersi, z-1 olsun.
z . z-1 = 1 olmalıdır.
Bu eşitliği sağlayan z-1 sayısını bulalım :
z = a + bi ise, z-1 = dir. (Pay ve paydayı, a – bi ile çarpalım)
z-1 =
z-1 =

olur. (z-1  C dir.)
* Siz de, z = a + bi ve z-1 = sayılarını, z . z-1 = 1 eşitliğinde yerine yazarak sağlama yapınız.
O halde, sıfır hariç, karmaşık sayılar kümesinde çarpma işlemine göre her elemanın tersi vardır.
Değişme Özelliği
z1, z2  C, z1 = a + bi ve z2 = c + di olsun.
Z1 . z2 = (a + bi) (c + di) z2 . z1 = (c + di) . (a + bi)
= (ac – bd) + (ad + bi) i = (ca – db) + (cb + da) i olur.
z1 . z2 = z2 . z1 olduğundan, karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
Birleşme Özelliği
z1, z2, z3  C ve z1 = a + bi, z2 = c + di, z3 = e + fi olsun.
(z1 . z2) . z3 = [(a + bi) (c + di)]. (e + fi)
= [(ac – bd) + (ad + bc) i]. (e + fi)
= (ace – bde – adf – bcf) + (acf – bdf + ade + bce) i
z1 . (z2 . z3) çarpımını da siz hesaplayınız. Aynı sonucu buldunuz mu?
(z1 . z2) . z3 = z1 . ( z2 . z3) olduğundan, karmaşık sayılar kümesinde, çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.


Dağılma Özelliği
z1, z2, z3  C ve z1 = a + bi, z2 = c + di, z3 = e + fi olsun.
z1 . (z2 + z3) = (a + bi) [(c + di) + (e + fi)]
= (a + bi) [(c + e) + (d + f)i]
= (ac + ae – bd – bf) + (bc + be + ad + af) i olur.
z1 . z2 . + z1 . z3 = (a + bi) (c + di) + (a bi) (e + fi)
= (ac – bd) + (ad + bc) i + (ae – bf) + (af + be)i
z1 . (z2 + z3) = z1 . z2 + z1 . z3 olduğundan, karmaşık sayılarda çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır. Sağdan dağılma özelliğinin varlığını da siz gösteriniz. [(z2 + z3) . z1 = z2 . z1 + z3 . z1]
O halde, karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin, toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.


BÖLME İŞLEMİ
Z1, z2  C ve z1 = a + bi, z2 = c + di, z2 = 0 olsun.
işlemi yapılırken, pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılırsa;
bulunur.
Ayrıca, bölme işlemi, çarma işlemine göre ters eleman yardımıyla,
biçiminde de tanımlanabilir.

__________________

sewal

üye oldum hala göremiyorum yardım edın